Pythonで行列計算をマスター！NumPyによる行列演算の完全ガイド
行列は線形代数の核心的な概念であり、機械学習や数値計算において不可欠です。PythonのNumPyライブラリを使えば、複雑な行列計算も簡単に実行できます。この記事では、行列の基本操作から高度な応用まで、実例を交えて詳しく解説します。
行列の作成と基本操作
行列の作成方法
import numpy as np
# 2次元配列（行列）の作成
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])
print("行列A:")
print(A)
print("行列B:")
print(B)
特殊な行列の作成
# 零行列
zeros = np.zeros((3, 3))
print("零行列:")
print(zeros)
# 単位行列
identity = np.eye(3)
print("単位行列:")
print(identity)
# ランダム行列
random_matrix = np.random.rand(2, 3)
print("ランダム行列:")
print(random_matrix)
基本的な行列演算
行列の加算と減算
# 行列の加算
addition = A + B
print("A + B:")
print(addition)
# 行列の減算
subtraction = A - B
print("A - B:")
print(subtraction)
行列の掛け算
# 要素ごとの掛け算（アダマール積）
element_wise = A * B
print("要素ごとの掛け算:")
print(element_wise)
# 行列の掛け算（行列積）
matrix_mult = np.dot(A, B)
print("行列積 A @ B:")
print(matrix_mult)
# @ 演算子を使用（Python 3.5以降）
matrix_mult2 = A @ B
print("行列積 A @ B（@演算子）:")
print(matrix_mult2)
行列の転置と形状変更
転置行列
# 転置行列
A_transpose = A.T
print("Aの転置:")
print(A_transpose)
# transposeメソッドを使用
A_transpose2 = np.transpose(A)
print("Aの転置（別の書き方）:")
print(A_transpose2)
行列の形状変更
# 1次元配列を行列に変換
vector = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
matrix = vector.reshape(2, 3)
print("リシェイプした行列:")
print(matrix)
# 行列を1次元配列に変換
flattened = matrix.flatten()
print("平坦化した配列:")
print(flattened)
逆行列と行列式
行列式の計算
# 行列式
det_A = np.linalg.det(A)
print(f"行列Aの行列式: {det_A}")
逆行列の計算
# 逆行列
try:
A_inv = np.linalg.inv(A)
print("Aの逆行列:")
print(A_inv)
# 検証: A × A^(-1) = I
verification = A @ A_inv
print("検証 A × A^(-1):")
print(verification)
except np.linalg.LinAlgError:
print("行列は正則ではありません（逆行列が存在しません）")
固有値と固有ベクトル
# 対称行列の例
symmetric_matrix = np.array([[4, 2], [2, 3]])
# 固有値と固有ベクトルの計算
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(symmetric_matrix)
print("固有値:")
print(eigenvalues)
print("固有ベクトル:")
print(eigenvectors)
行列の分解
LU分解
from scipy.linalg import lu
# LU分解
P, L, U = lu(A.astype(float))
print("P行列（置換行列）:")
print(P)
print("L行列（下三角行列）:")
print(L)
print("U行列（上三角行列）:")
print(U)
特異値分解（SVD）
# 特異値分解
U, s, Vt = np.linalg.svd(A.astype(float))
print("U行列:")
print(U)
print("特異値:")
print(s)
print("V転置行列:")
print(Vt)
連立一次方程式の解法
# Ax = b の形の連立方程式
# 例: 2x + 3y = 7, x + 2y = 4
A = np.array([[2, 3], [1, 2]])
b = np.array([7, 4])
# 解を求める
x = np.linalg.solve(A, b)
print(f"解: x = {x[0]}, y = {x[1]}")
# 検証
verification = A @ x
print(f"検証 Ax = {verification}, b = {b}")
実用的な応用例
画像変換（回転行列）
# 2D回転行列
def rotation_matrix(angle_degrees):
angle = np.radians(angle_degrees)
return np.array([[np.cos(angle), -np.sin(angle)],
[np.sin(angle), np.cos(angle)]])
# 45度回転
rot_45 = rotation_matrix(45)
print("45度回転行列:")
print(rot_45)
# 点(1, 0)を45度回転
point = np.array([1, 0])
rotated_point = rot_45 @ point
print(f"回転後の点: {rotated_point}")
最小二乗法
# データポイント
x_data = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y_data = np.array([2.1, 3.9, 6.1, 7.8, 10.2])
# 線形回帰 y = ax + b
A = np.vstack([x_data, np.ones(len(x_data))]).T
coefficients = np.linalg.lstsq(A, y_data, rcond=None)[0]
a, b = coefficients
print(f"線形回帰の係数: y = {a:.2f}x + {b:.2f}")
行列の条件数と数値安定性
# 条件数の計算
cond_A = np.linalg.cond(A)
print(f"行列Aの条件数: {cond_A:.2f}")
if cond_A > 1e12:
print("行列は数値的に不安定です")
else:
print("行列は数値的に安定です")
まとめ
Pythonを使った行列計算は、NumPyライブラリにより非常に効率的に実行できます。基本的な四則演算から固有値分解、特異値分解まで、様々な行列演算が簡潔なコードで実現できます。これらの技術は、機械学習、画像処理、科学計算など幅広い分野で活用されています。
行列演算をマスターすることで、より高度な数値計算やデータ分析のアルゴリズムを理解し、実装できるようになります。
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